Ο Ρίτσαρντ Φάινμαν αναγνώριζε ότι μια επιστημονική θεωρία μπορεί να διαθέτει αυστηρή μαθηματική θεμελίωση χωρίς να έχουμε μια στοιχειώδη εξήγηση για το γιατί ισχύει. Η εμπειρία του ως καθηγητή στο Caltech ανέδειξε και ένα δεύτερο ζήτημα: η επιστημονική ποιότητα μιας διάλεξης δεν εγγυάται ότι οι φοιτητές κατανοούν όσα ακούν.
Κάποτε ο φυσικός Ντέιβιντ Γκούντσταϊν ζήτησε από τον Ρίτσαρντ Φάινμαν να του εξηγήσει γιατί τα σωματίδια με σπιν ½, όπως τα ηλεκτρόνια, υπακούουν στη στατιστική Fermi–Dirac. Ο Φάινμαν υποσχέθηκε να προετοιμάσει μια διάλεξη κατάλληλη για πρωτοετείς φοιτητές. Λίγες ημέρες αργότερα επέστρεψε με μια απροσδόκητη παραδοχή: δεν είχε καταφέρει να διατυπώσει μια τέτοια εξήγηση. Αυτό, είπε, σήμαινε ότι στην πραγματικότητα δεν το καταλαβαίνουμε.
Η ιστορία περιλαμβάνεται στο άρθρο του Γκούντσταϊν «Richard P. Feynman, Teacher», που δημοσιεύθηκε στο Physics Today το 1989. Το σημαντικότερο στοιχείο της βρίσκεται στο «δεν το καταλαβαίνουμε». Ο Φάινμαν δεν περιέγραφε απλώς μια προσωπική δυσκολία στη διδασκαλία. Έθετε ένα ερώτημα για το βάθος της κατανόησης που είχε η ίδια η φυσική για ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα.
Η σύνδεση ανάμεσα στο σπιν και στη στατιστική των σωματιδίων θεμελιώνεται μέσα στη σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίου (θεώρημα σπιν–στατιστικής, Pauli, 1940). Η μαθηματική απόδειξη, όμως, δεν ισοδυναμεί με μια στοιχειώδη εξήγηση που μπορεί να δοθεί χωρίς το αντίστοιχο θεωρητικό υπόβαθρο. Ο Φάινμαν αναγνώριζε αυτή τη δυσκολία και στις Διαλέξεις του για τη Φυσική, στον τρίτο τόμο, όπου σημείωνε ότι δεν μπορούσε να προσφέρει μια απλή εξήγηση της συγκεκριμένης αρχής.
Δεν αμφισβητούσε την εγκυρότητα του αποτελέσματος. Αναδείκνυε τη διαφορά ανάμεσα στο να διαθέτουμε μια αυστηρή μαθηματική θεμελίωση και στο να έχουμε μια εξήγηση που αποκαλύπτει με στοιχειώδη τρόπο γιατί ισχύει.
Από εδώ προκύπτει το πρώτο δίδαγμα: η δυσκολία να εξηγήσουμε κάτι απλά μπορεί να φανερώνει ένα όριο της γνώσης μας — μερικές φορές όχι μόνο της προσωπικής μας γνώσης, αλλά και της επιστημονικής κατανόησης που διαθέτουμε συλλογικά. Δεν σημαίνει ότι κάθε σύνθετη θεωρία οφείλει να εξηγείται πλήρως σε αρχάριους. Σημαίνει ότι ο διδάσκων χρειάζεται να γνωρίζει τι μπορεί να εξηγήσει, με ποιες προϋποθέσεις και μέχρι ποιο σημείο.
Από τη γνώση του νόμου στην κατανόηση του φαινομένου
Η διάκριση αυτή έχει σημασία και στη σχολική φυσική, παρότι τα προβλήματα της τάξης είναι διαφορετικά από εκείνα της κβαντικής θεωρίας πεδίου. Ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει έναν τύπο και να τον εφαρμόζει σωστά, χωρίς να έχει κατανοήσει τη φυσική σχέση που περιγράφει.
Ας υποθέσουμε ότι ένα κιβώτιο ολισθαίνει προς τα δεξιά πάνω σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο, αφού έχει πάψει να ασκείται πάνω του η δύναμη που το έθεσε σε κίνηση. Η τριβή ολίσθησης δρα προς τα αριστερά και το κιβώτιο επιβραδύνεται. Η ταχύτητά του κατευθύνεται προς τα δεξιά, ενώ η επιτάχυνση και η συνισταμένη δύναμη προς τα αριστερά.
Το παράδειγμα επιτρέπει στον καθηγητή να εξετάσει μια συνηθισμένη παρανόηση: την ιδέα ότι, εφόσον ένα σώμα κινείται προς μια κατεύθυνση, πρέπει να υπάρχει και συνισταμένη δύναμη προς την ίδια κατεύθυνση. Πρόκειται για δυσκολία που έχει μελετηθεί στη διδακτική της φυσικής, μεταξύ άλλων από τον John Clement και από τους ερευνητές που ανέπτυξαν το Force Concept Inventory.
Η σωστή αριθμητική λύση μιας άσκησης δεν αρκεί για να αποκαλύψει αν ο μαθητής έχει ξεπεράσει αυτή την παρανόηση. Χρειάζεται να εξηγήσει τι συμβαίνει στο σώμα και γιατί. Η προσπάθεια του καθηγητή να οργανώσει μια τέτοια εξήγηση αποτελεί ταυτόχρονα έλεγχο της δικής του διδακτικής προσέγγισης.
Η περιέργεια ως αφετηρία της διδασκαλίας
Ο Γκούντσταϊν περιγράφει τον Φάινμαν ως έναν άνθρωπο που έβλεπε τον κόσμο σαν παιχνίδι με κανόνες, άλλους γνωστούς και άλλους άγνωστους. Με δεδομένους τους κανόνες, προσπαθούσε να προβλέψει τη συμπεριφορά των φαινομένων. Με δεδομένη τη συμπεριφορά, αναζητούσε τους κανόνες. Και όταν οι υπάρχοντες κανόνες αποδεικνύονταν ανεπαρκείς, αναζητούσε νέους.
Η στάση αυτή προσφέρει μια αφετηρία για τη σχολική τάξη: πριν παρουσιαστεί η εξήγηση, ο μαθητής μπορεί να κληθεί να κάνει μια πρόβλεψη και στη συνέχεια να την ελέγξει.
Μια σχετική διδακτική προσέγγιση είναι η Πρόβλεψη–Παρατήρηση–Εξήγηση (Predict–Observe–Explain), που περιγράφεται, μεταξύ άλλων, από τους Richard White και Richard Gunstone στο βιβλίο Probing Understanding (1992).
Ο καθηγητής μπορεί, για παράδειγμα, να παρουσιάσει δύο σφαίρες διαφορετικής μάζας και να ρωτήσει ποια θα φτάσει πρώτη στο έδαφος, αν αφεθούν ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος. Ορισμένοι μαθητές ενδέχεται να προβλέψουν ότι η βαρύτερη θα πέσει γρηγορότερα.
Η πρόβλεψη μπορεί να ελεγχθεί με δύο συμπαγείς σφαίρες παρόμοιου μεγέθους, ώστε οι διαφορές στην αντίσταση του αέρα να μην επηρεάζουν αισθητά την παρατήρηση. Οι μαθητές διαπιστώνουν ότι οι σφαίρες φτάνουν πρακτικά ταυτόχρονα στο έδαφος.
Η παρατήρηση δημιουργεί την αφορμή για την εξήγηση: όταν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα, η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης δεν εξαρτάται από τη μάζα του σώματος. Αν η αρχική πρόβλεψη ήταν διαφορετική, ο μαθητής καλείται να επανεξετάσει τη σκέψη που τον οδήγησε σε αυτήν.
Η αξία της διαδικασίας δεν βρίσκεται μόνο στην επίδειξη ενός γνωστού αποτελέσματος. Βρίσκεται στη σύγκριση ανάμεσα σε αυτό που περίμενε ο μαθητής και σε αυτό που παρατήρησε, καθώς και στην προσπάθεια να εξηγήσει τη διαφορά.
Η πόρτα που έμενε ανοιχτή στους φοιτητές
Η σχέση του Φάινμαν με τους φοιτητές δεν περιοριζόταν στις επίσημες διαλέξεις. Σύμφωνα με τον Γκούντσταϊν, η γραμματέας του προστάτευε τον χρόνο του από επισκέψεις και συναντήσεις, αλλά υπήρχε μια σταθερή εξαίρεση: η πόρτα του παρέμενε ανοιχτή για κάθε φοιτητή που ήθελε να τον συναντήσει.
Για τουλάχιστον 17 χρόνια πραγματοποιούσε επίσης το άτυπο εβδομαδιαίο μάθημα «Physics X», χωρίς πιστωτικές μονάδες. Οι φοιτητές μπορούσαν να θέσουν όποιο θέμα επιθυμούσαν, ενώ ίσχυε ένας ιδιαίτερος κανόνας: κανένα μέλος του διδακτικού προσωπικού δεν επιτρεπόταν να συμμετέχει.
Η λεπτομέρεια αυτή έχει ξεχωριστή σημασία. Ο Φάινμαν δημιουργούσε έναν χώρο στον οποίο οι ερωτήσεις των φοιτητών καθόριζαν τη συζήτηση.
Για τη σχολική διδασκαλία, η αντίστοιχη παιδαγωγική προέκταση είναι η αξία της προσεκτικής ακρόασης. Μια ερώτηση μπορεί να αποκαλύψει μια παρανόηση, μια ασάφεια ή ένα σημείο στο οποίο η εξήγηση δεν ανταποκρίθηκε στις ανάγκες του μαθητή. Ο καθηγητής δεν χρειάζεται μόνο να απαντά· χρειάζεται να καταλαβαίνει τι ακριβώς ρωτά ο μαθητής και από ποια σκέψη ξεκινά.
Το χειροκρότημα των ειδικών
Ο Φάινμαν διέθετε ένα εξαιρετικό χάρισμα παρουσίασης. Ο Γκούντσταϊν περιγράφει το αμφιθέατρο σαν θέατρο και τον καθηγητή σαν άνθρωπο της σκηνής, που χρησιμοποιούσε χιούμορ, εκπλήξεις και δραματικότητα μαζί με τα επιστημονικά επιχειρήματα.
Σε ένα μάθημα προχωρημένης κβαντομηχανικής, ο Φάινμαν εξηγούσε πώς σύνθετοι μαθηματικοί υπολογισμοί μπορούσαν να αναπαρασταθούν με γραμμές στον χώρο και στον χρόνο. Παρουσίαζε ουσιαστικά τα διαγράμματα που είχαν ήδη συνδεθεί με το όνομά του, αλλά μιλούσε σαν να εισήγαγε μια ανώνυμη μέθοδο.
Όταν ολοκλήρωσε την εξήγηση, στράφηκε προς το ακροατήριο και ανακοίνωσε:
«Και αυτό λέγεται το διάγραμμα!»
Οι παρευρισκόμενοι ξέσπασαν σε χειροκρότημα. Όπως διευκρινίζει ο Γκούντσταϊν, όμως, το ακροατήριο αποτελούνταν από λίγους μεταπτυχιακούς φοιτητές και κυρίως από καθηγητές φυσικής του Caltech.
Αυτό έχει σημασία για την ερμηνεία του περιστατικού. Ο Φάινμαν είχε ενθουσιάσει ανθρώπους που διέθεταν ήδη την επιστημονική κατάρτιση για να εκτιμήσουν τη μέθοδο και το αστείο του. Το χειροκρότημά τους ήταν ένδειξη της δύναμης της παρουσίασης μπροστά σε ειδικούς, όχι απόδειξη ότι η ίδια εξήγηση θα ήταν κατάλληλη για πρωτοετείς.
Η διάκριση αυτή αποκτά μεγαλύτερο βάρος αν εξετάσουμε την εμπειρία των περίφημων Διαλέξεων του Φάινμαν για τη Φυσική, που προέκυψαν από τα εισαγωγικά μαθήματα τα οποία δίδαξε στο Caltech κατά τα ακαδημαϊκά έτη 1961–1962 και 1962–1963.
Στόχος ήταν να ανανεωθεί η διδασκαλία της φυσικής στους πρωτοετείς. Η εμπειρία, όμως, αποδείχθηκε σύνθετη.
Ο Γκούντσταϊν αναφέρει ότι πρώην φοιτητές θυμούνταν αργότερα εκείνα τα δύο χρόνια ως εμπειρία ζωής. Ο Τζέρι Νόιγκεμπαουερ, ο οποίος συμμετείχε στην προετοιμασία των ασκήσεων, διατηρούσε μια διαφορετική ανάμνηση: πολλοί πρωτοετείς φοβούνταν το μάθημα και η προσέλευσή τους μειωνόταν. Το αμφιθέατρο παρέμενε γεμάτο επειδή τις κενές θέσεις καταλάμβαναν ολοένα περισσότεροι μεταπτυχιακοί φοιτητές και καθηγητές.
Στον πρόλογο του πρώτου τόμου των Διαλέξεων, ο ίδιος ο Φάινμαν αναγνώριζε ότι δεν πίστευε πως είχε πετύχει ιδιαίτερα καλά με τους φοιτητές. Διευκρίνιζε, ωστόσο, ότι είχε επιλέξει συνειδητά να απευθυνθεί κυρίως στους πιο ενθουσιώδεις και ικανούς, επιδιώκοντας παράλληλα να εξασφαλίσει ότι οι υπόλοιποι θα αποκόμιζαν τουλάχιστον τον βασικό κορμό της ύλης.
Επομένως, οι δυσκολίες των πρωτοετών δεν μπορούν να αποδοθούν αποκλειστικά σε μια ανεπιθύμητη διδακτική αστοχία. Συνδέονταν εν μέρει και με τον σχεδιασμό ενός ιδιαίτερα απαιτητικού μαθήματος, που έδινε προτεραιότητα στην εμβάθυνση των πιο προχωρημένων φοιτητών.
Ο Φάινμαν ολοκλήρωνε την αποτίμησή του στον πρόλογο παραπέμποντας σε μια σκέψη του ιστορικού Edward Gibbon: η διδασκαλία σπάνια αποδίδει, εκτός από εκείνους για τους οποίους είναι σχεδόν περιττή.
Αυτή είναι μια διαφορετική ιστορία από εκείνη της στατιστικής Fermi–Dirac. Εκεί ο Φάινμαν αναγνώριζε ένα όριο της στοιχειώδους επιστημονικής εξήγησης. Εδώ αναδεικνύεται το πρόβλημα της σχέσης ανάμεσα στις απαιτήσεις ενός μαθήματος, στο επίπεδο του ακροατηρίου και στα αποτελέσματα της διδασκαλίας.
Από αυτή τη διάκριση προκύπτει το δεύτερο δίδαγμα: ο ενθουσιασμός, η προσοχή ή ακόμη και το χειροκρότημα δεν αποτελούν απόδειξη ότι οι μαθητές κατανόησαν.
Το ερώτημα που αποκαλύπτει την κατανόηση
Πώς μπορεί ένας καθηγητής να ελέγξει αν οι μαθητές έχουν κατανοήσει μια φυσική έννοια; Ένας τρόπος είναι να ζητήσει να εφαρμόσουν την ίδια ιδέα σε διαφορετικό φαινόμενο, όπου μια συνηθισμένη παρανόηση μπορεί να γίνει εμφανής.
Αφού συζητηθεί το κιβώτιο που ολισθαίνει και επιβραδύνεται, μπορεί να τεθεί το ερώτημα της κατακόρυφης βολής: μια μπάλα εκτοξεύεται προς τα πάνω και, αφού απομακρυνθεί από το χέρι, συνεχίζει να ανεβαίνει. Προς τα πού κατευθύνονται η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η συνισταμένη δύναμη;
Με αμελητέα αντίσταση του αέρα, όσο η μπάλα ανεβαίνει, η ταχύτητα κατευθύνεται προς τα πάνω, ενώ η επιτάχυνση και η δύναμη της βαρύτητας, που εδώ είναι και η συνισταμένη, κατευθύνονται προς τα κάτω.
Το πιο αποκαλυπτικό ερώτημα έρχεται αμέσως μετά: στο ανώτατο σημείο, όπου η ταχύτητα μηδενίζεται στιγμιαία, πόση είναι η επιτάχυνση;
Η επιτάχυνση εξακολουθεί να είναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας, με κατεύθυνση προς τα κάτω. Δεν μηδενίζεται επειδή μηδενίστηκε στιγμιαία η ταχύτητα.
Αν ο μαθητής υποστηρίξει ότι και η επιτάχυνση γίνεται μηδέν, ο καθηγητής έχει εντοπίσει μια συγκεκριμένη δυσκολία κατανόησης. Μπορεί πλέον να επιστρέψει στη σχέση ανάμεσα στη μεταβολή της ταχύτητας και στην επιτάχυνση, αντί να επαναλάβει απλώς τον τύπο του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα.
Το ζητούμενο δεν είναι μόνο να απαντηθεί σωστά μια ερώτηση, αλλά να φανεί ο συλλογισμός που οδηγεί στην απάντηση.
Ο δάσκαλος των δασκάλων
Ο Γκούντσταϊν αποτιμούσε τον Φάινμαν ως έναν σπουδαίο «δάσκαλο των δασκάλων». Η συμβολή του δεν περιοριζόταν στην παρουσίαση γνωστών αποτελεσμάτων. Έδειχνε σε επιστήμονες και εκπαιδευτικούς πώς μπορούσαν να ξαναδούν τη φυσική, να επανεξετάσουν τις βασικές της έννοιες και να αναζητήσουν διαφορετικές διαδρομές προς την κατανόηση.
Η μαρτυρία του δεν περιγράφει έναν αλάνθαστο καθηγητή. Περιγράφει έναν άνθρωπο που μπορούσε να εμπνεύσει, να ενθουσιάσει και να αναδιατυπώσει τη φυσική με εξαιρετική πρωτοτυπία, αλλά του οποίου οι διδακτικές επιλογές δεν ανταποκρίνονταν πάντοτε στις ανάγκες όλων των αρχάριων φοιτητών.
Η επιστημονική κατανόηση και η αποτελεσματική διδασκαλία είναι στενά συνδεδεμένες, αλλά δεν είναι το ίδιο πράγμα. Η πρώτη απαιτεί να γνωρίζουμε τι εξηγεί πραγματικά μια θεωρία και πού βρίσκονται τα όριά της. Η δεύτερη απαιτεί να διαπιστώνουμε τι κατανοεί ο συγκεκριμένος μαθητής που έχουμε απέναντί μας.
Το περιστατικό με τη στατιστική Fermi–Dirac δείχνει έναν επιστήμονα που δεν αρκέστηκε στην ύπαρξη μιας μαθηματικής απόδειξης για να θεωρήσει ότι είχε εξαντλήσει το ερώτημα της κατανόησης. Η εμπειρία των εισαγωγικών διαλέξεων δείχνει ότι ακόμη και η εξαιρετική επιστημονική σκέψη δεν εξασφαλίζει από μόνη της την επιτυχία της διδασκαλίας.
Και οι δύο ιστορίες καταλήγουν σε μια κοινή απαίτηση: να είμαστε διατεθειμένοι να εξετάζουμε ξανά όσα πιστεύουμε ότι γνωρίζουμε.
Καθηγητής φυσικής, απόφοιτος Αριστοτελείου Πανεπιστημίου με μεταπτυχιακό στη Διδακτική των Φυσικών Επιστημών και ιδιοκτήτης φροντιστηρίων μέσης εκπαίδευσης.
